正交试验法与代数法的联用原理

绵阳高新区四海精细化工研究应用中心

[摘要]本文介绍试验寻优中的正交试验法与代数法联用原理，阐述联用方法可充分利用一次试验结果中获取更多信息，大大提高试验效率和精度，并减少试验次数，同时又保持正交试验法的传统优点。
[关键词]寻优，正交试验法，代数法，泰勒级数，收敛速度

[正文]

1.正交试验法的评价

正交试验法的理论基础是正交拉丁方理论与群论。在工作中可用的多因素寻优工作方法，一类是从优选区某一点开始试验，一步一步到达较优点，这类实验方法叫序贯试验法，如因素轮换法、爬山法等；另一类是，在优选区内一次布置一批试验点，通过对这批试验结果的分析，逐步缩小优选范围从而达到较优点，如正交试验法等。科研中普遍采用正交试验法，因其具有如下优点：

①实用上按表格安排试验，使用方便；
②布点均衡、试验次数较少；
③在正交试验法中的最好点，虽然不一定是全面试验的最好点，但也往往是相当好的点。特别在只有一两个因素起主要作用时，正交试验法能保证主要因素的各种可能都不会漏掉。这点在探索性工作中很重要，其他试验方法难于作到；
④正交试验法提供一种分析结果（包括交互作用）的方法，结果直观易分析。且每个试验水平都重复相同次数，可以消除部分试验误差的干扰；
⑤因其具有正交性，易于分析出各因素的主效应。

        但其也有一些缺点：它提供的数据分析方法所获得的优选值，只能是试验所用水平的某种组合，优选结果不会超越所取水平的范围；另外，也不能给进一步的试验提供明确的指向性，使试验仍然带很强的摸索性色彩，不很精确。这样，正交试验法用在初步筛选时显得收敛速度缓慢、难于确定数据变化规律，增加试验次数。尤其在试验工作烦琐、费用昂贵的情况更显突出。

2.正交试验法的代数学基础

        对试验的寻优工作，用数学语言可描述为求多维连续空间上的最大或最小值（极值）。但现实的试验工作又往往没有可用的数学模型，不能确切知道数据变化的数学规律。故处理上可以先求出其数学模型，再计算极值；或直接从试验点的组合中推算出一个较好值作为较优解。

        实际上，在高等数学上的泰勒级数：f(x)=Σf(n)(x0)·(x-x0)n/n!，n=0~+∞，用于求复杂函数的近似解时，就利用了其收敛性原理。在试验寻优时也可同理可将描述试验对象的“数学函数”运用泰勒级数的数项代数式近似地拟合试验规律，代入各次试验的结果获得一组线性方程，用解析法求出方程的优值，即曲线的极点。
        显然，如果数据量大，则可以一次性用较高阶幂级数解出很精确的拟合曲线或函数。只消再用极少的进一步试验印证或寻优即可完成试验工作。
缺点：代数学方法不能提供一种较好的试验安排方案，不如正交试验法规范直观，数据不易处理，故不常为人们使用。
        以上分析可以看到二者均是寻优，各有所长。如何取长补短？
3.二者联合运用原理

        以L9(34)三水平标准正交表为例加以说明。L9(34)有九次试验，如对每个因素均使用二次方程拟合，因素间无交互作用即理解为各因素独立对结果作贡献。用代数方程表达有：
f(x1,x2,x3,x4)=a0+a1x1+a2x12+a3x2+a4x22+a5x3+a6x32+a7x4+a8x42
代入各xi的值，获得含九个未知数的九个线性方程，可求解出各ai 。再运用多元函数求极值的方法，可以获得较优值。这样，一组试验便获得较优结果，而且不受水平取值范围的限制，并对进一步试验有较强的指向性。
        显然，从正交表得到的线性方程组的系数矩阵均是满秩的，对应的线性方程组有唯一解，即试验的优值是唯一的： AX=B X=A-1B
        其次，对因素间的交互作用，在代数处理上，可用因素间相乘的项来表达：xim·xjn。（显然，代数法还可用来分析多元交互作用等问题。）
        以上分析说明正交试验法有其代数学基础。
        很易看到，对标准正交表，各因素的基本拟合级数的最高幂次为其水平数减一。
[备注]关于均匀设计
        在均匀设计中，如3因素7水平的试验方案，只消7次试验，即U7（73）。这样的均匀设计的7次试验也可代数法处理求解，各因素分配二次幂，另设一常数项，但数据的正交性不易保证。而正交试验法的处理很明确易理解。

4.举例
        以一个L9(34)三水平标准正交表试验结果的处理为例加以说明。
Fig-1 某正交试验法的试验数据（见注①）

因素名

试验号

A

B

C

D

结果

1

9

30

1.2

1.0

65

2

60

1.4

1.5

50

3

80

1.6

2.0

60

4

10

30

1.4

2.0

55

5

60

1.6

1.0

65

6

80

1.2

1.5

100

7

8

30

1.6

1.5

60

8

60

1.2

2.0

70

9

80

1.4

1.0

95

Fig-2 Fig-1的代数解析结果

因素

一次系数

数值

二次系数

数值

极值判别

极值点

(a0)

1429.5047271

A

a 1

-276.6415294

a 2

15.3072707

极小

9.036278734

B

a 3

-1.8011854

a 4

0.0207845

极小

43.33001516

C

a 5

-194.3798772

a 6

54.2393185

极小

1.791872414

D

a 7

11.4104138

a 8

-8.3031858

极大

0.68711059

Fig-1是某正交试验法的试验数据。

对此正交表有标准代数式：
f(x1,x2,x3,x4)=a0+a1x1+a2x12+a3x2+a4x22+a5x3+a6x32+a7x4+a8x42
令A=x1，B= x2，C= x3，D= x4，f(x1,x2,x3,x4)=“结果”，代入九次试验的数据，解方程组，结果见Fig-2。

在极值点处有：

f(x1,x2,x3,x4)=1429.5047271

+1249.904985·（-2+1）………………………………….A（a 1 ，a 2）

+39.02269534·（-2+1）………………………………….B（a 3 ，a 4）

+174.1519699·（-2+1）………………………………….C（a 5 ，a 6）

+3.920108041·（2-1）……………………………………D（a 7 ，a 8）

[附注]
        如仅在各试验点上取值，代数法结论应为：（8，80，1.2，1）。单纯用正交试验法分析Fig-1，较好条件为：（8，80，1.2，1），（10，80，1.2，1）。其结论与代数法一致，但其所提示结果，仅在试验范围内，且为所选水平值。

[对比]

        代数法对优选指向更明确：Dmax=0.687，A、B、C应避开最小点：9.03、43.33、1.79，且其左右等距点取值等效，即同时又提供了经济性取向。这样精确的结论，单纯正交试验法是不能获得的。（优选点超出试验区域。）进一步的试验可围绕较优点的较小区域展开，这样寻优收敛速度得到大大提高。

[讨论]

        根据各因素的贡献系数大小，还可再调整。如，把D，x4调为一次幂拟合；把系数大的A，x1调为三次拟合等不同调整。显然，也可调整为含交互作用项的形式。这些分析此处理不再列举。这种用标准正交表分析交互作用等情况，在普通正交试验法中是不可想象的。

5.概括

        总之，利用正交试验法的设计方案，结合代数拟合方法对数据进行分析，可达到使试验收敛速度加快、试验的效率非常高的效果。可利用试验结果获取更多信息，准确掌握效应的趋势规律，而且优选点可超越所选水平范围和精度，从而可大大减少试验次数。这种联用技术，对于可获得定量结果或结果容易定量化，以及试验代价高时，很有效。在一般试验工作中，如不要求高精度，或试验易于进行，或结果不易定量化，以及缺乏计算技术等时，不推荐采用。

        同理，本方法也可运用于均匀设计试验法的数据处理。如U7（73）共有7次试验，获得7个结果。3因素7水平，带入如下代数式：

f(x1,x2,x3)=a0+a1x1+a2x12+a3x2+a4x22+a5x3+a6x32

        从而获得7个方程的线性方程组。类似，xi代表各因素的水平值，ai为贡献系数。

        另外，代数学处理时，各因素贡献率大小看整项的绝对值，效率高低看各因素系数绝对值；可对影响较大的因素取较高幂次的级数，而对较弱因素取较低幂次；用标准正交表可以分析交互作用情况。这样，利用代数法，对正交试验法得结果进行分析处理就显得很灵活，对正交表的选取也没有单纯采用正交试验法严格，试验工作效率也比单纯使用正交法处理高得多。

        本试验方法是我们在科研工作中为提高试验效率总结出来的，非常实用，且到目前为止还未见有文献报道。如果借助计算机处理数据本方法会更加高效快捷，而且在处理一组关联试验数据时，可以将第二次试验的结果与第一次试验的结果合并成为一个大的线性方程来处理，增加信息量。

注：①此数据取自中科院数学所数理统计组《正交试验法》

参考文献

1.《正交试验法》中科院数学所数理统计组编，人民教育出版社 1975年12月第一版
2.《线性代数与张量解析》盛正华编，湖南科学技术出版社1985年1月第一版
3.《高等数学讲义（上、下册）》樊映川等编，人民教育出版社1958年3月第一版
4.《均匀设计__一种试验设计方法》王元，科学导报，1994/05
5.《均匀设计的一些新结果》方开泰、李久坤，科学导报，1994/11

THE TEST PRINCIPLE BY COMBINING CROSS-OVER METHOD WITH ALGEBRAIC METHOD

Ocean Fine Chemicals Study & Application Institute,Sichuan province of China

Abstract:Combining Cross-over method with Tailor-series in algebra to treat the data of Cross-over method，we may obtain more information from a group of series test-data，and improve the efficiency and result precision of the process. So we can cut down the tests-times for go to a better optimum-value，while keeping the feature of Cross-over method.

Keywords：researching-optimum, Cross-over method, Algebraic method, Tailor-series, Converging-velocity

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